二次関数の頂点の座標 ~なぜ平方完成でいいんだろう~

目標:平方完成でなぜ頂点の座標が求まるのかを知る。


高校の数学の山場の1つが二次関数だと思います!

たとえば、下のようなグラフですね。


キャプチャ.PNG




二次関数のグラフ


二次関数のグラフの特徴は頂点があることです。

高校の数学では、この頂点があるという特徴に注目した問題が多く出題されます。
逆に言えば、頂点にしっかり注意できればほとんどの問題は解決できるということです。


頂点の座標を求めるために
平方完成という変形(謎変形)をすることになります。



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平方完成とは


以下の例を見ていきましょう。
以下の操作が平方完成(謎の変形)です。
平方完成.PNG
結論から言えばこの関数の頂点は(3,-4)になります。
ちなみにこの記事の最初のグラフはこの関数なので見比べてみてください。

さて、ここで謎変形をする気持ちを考えていきましょう。
関数の便利で難しいところは
「xの値によって対応するyの値が得られる。」ところにあります。
ここで上記の2次関数の値を調べて、頂点の座標を見つけたいところですが、
二次関数の場合はxが二か所に出てきているので、対応する値を調べることが大変です。
中学生の頃は1つしか出てきてなかったのに……
xが1つだったらなぁぁぁぁ…………








じゃあ、1つにすればよくない?



それでは、xを1つにしていきましょう!
ところで、中学校で以下のような展開と因数分解をしていますよね。
二乗の展開.PNG

この二乗の因数分解でxの数が減ることを利用していきましょう。

式変形.PNG
このように、変形することでxが2か所にあったのを、1か所に集めることができました。
さて、頂点の値はグラフの中で一番小さい値をとるはずです。
2乗になっている部分以外は値がー4と決まっているので、
2乗の部分をできるだけ小さくすることを考えましょう。











0ですよね。2乗ですもんね。マイナスの値はどうやってもとれませんよね。


つまり2乗の部分が一番小さい値をとるようなxの値が頂点のx座標になります!
2乗の部分が0のときに頂点のy座標の値をとるので、
2乗の部分以外の値が頂点のy座標になります。
よって、この関数では頂点の座標は(3、-4)になりますね。


以上をまとめていきます。
・xが2か所にあると調べるのが大変!
・だからxを1か所にまとめる!
・2乗の結果、一番小さい値は0!
  ↓だから↓
・平方完成をすることで頂点の座標が分かる!



以下に、一般化した形をまとめておきます。
まとめ.PNG

上に凸なグラフも同様に考えて、頂点を求めることができると思います。



他の単元などでこのようなページがほしいなどあればコメントしていただけると幸いです。

練習問題はここからどうぞ:ただ頂点を求めるだけの問題

関連:二次関数の最大値

この記事へのコメント

ねねね
2020年06月28日 22:45
ありがとうございます!
理論が知りたかったのでとても役に立ちました。こんなサイトが欲しかった!
たかを
2020年07月04日 22:47
>ねねねさん
ご参考にしていただきありがとうございます!
他の単元の記事も増やしていきたいと
思っていますので、お時間あるときに
また見ていただけると幸いです。