三角比をなぜ使うのか ~クラーケンまでどのくらいかなー~

目標:直角三角形の比を利用してみる。



クラーケンまでの距離


さいん?こさいん?などの謎呪文はひとまず置いといて…

まずは以下のような場面を考えてみましょう。


なんかおる.PNG


世界観は一回飲み込んでもらうとして……

こういう危険が近づいている場合、自分との距離から避難すべきかなどの判断を
することになりますが、どのようにして距離を測りましょう…?
クレイジーな人は、ひもをもってクラーケンのところまで
泳いで行って測るかもしれませんが、あんまりおすすめはできないですね。


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相似で距離を求める


そこで次のように考えてみましょう。
なんかおる2.PNG
①:家からクラーケンの方向に線を引くことはできるはずです。
  (クラーケンには届かなくても…)
②:①の線に対して90度に交わる線を引きます。
③:陸上の適当な場所(点A)とクラーケンを結んだ線の延長線は陸上部分では引けるはずです。

これで準備は完了しました。
点Aから②で引いた直線に垂線を書いてみてください。
すると赤い三角形青い三角形が相似になっていますよね。
(相似条件:2組の角がそれぞれ等しい。)


陸上の線分の長さは測れるので以下のようになるとしよう。
なんかおる3.PNG

相似な三角形の対応する辺の長さの比は等しいので、

  100:(家からクラーケンまでの距離)=14:7

となる。よって家からクラーケンまでの距離は50メートルとなりますね!




直角三角形は分度器などを使わなくてもコンパスで正確に作図できるので、
相似と合わせて使うことで、距離を求めるのに大活躍するわけですね。







三角比で距離を求める


ここで見方を変えていきましょう。
三角比例.PNG


赤い三角形青い三角形が相似なので
高さ/底辺はどちらの三角形も1/2ですよね。

つまり1つの鋭角がθである直角三角形の高さ/底辺はどんな大きさであっても同じです。
このような鋭角がθである直角三角形の高さ/底辺のことを

tanθ(タンジェント、正接)という。




ではこのtanθを利用していきましょう!
先ほどのクラーケンの例を再び考えてみます。

なんかおる4.PNG



このように赤い三角形を作った後、陸上で∠θを測りましょう。
tanθの大きさがあらかじめ 1/2 と分かっているとすると次の式が成り立つはずである。
たんじぇんとの利用.PNG


こうすることで、青い三角形をわざわざ作ることなく、
赤い三角形の角度θを調べるだけで、
家からクラーケンまでの距離を求めることができますね。





以上をまとめます。
・直角三角形と相似を利用することで直接図ることなく長さを求められる。
・直角三角形の2辺の比(今回はtanθ)を利用することでより簡単に長さを求められる。
 (ちなみにこの考え方は紀元前の人によって考えられていたようです。)







最後に、上の例ではtanθの値が分かっていることにしましたが、
実際に昔からtanθなどの直角三角形の比の値をまとめた
三角関数表が使われています。

tanθの他にもsinθやcosθなどありますが、
クラーケンまでの距離が50mだと分かったので、ここらで終わることにします。


続き:sinとcosについて



三角比やそのほかの単元について、気になることがあればコメントしていただけると幸いです。











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