目標:3,4,7,11の倍数の調べ方を知る。



九九の範囲の2桁の数なら、どんな数の倍数か判断するのにそこまで困りませんが、
桁数が増えると判断するのが大変ですよね。
2の倍数は偶数か否かですぐ判断できますが、それ以降の3や4などは
いちいち割り算で確認しなければならないとなると少しイラッとします。

以下、備忘録的な意味合いを含めてまとめます。

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3の倍数について★


方法各位の数の和が3の倍数になっていれば、その数は3の倍数

証明とは言えないほどの説明(5桁の数で説明します。)
ある5桁の3の倍数を 3k とする。またこの数の各位をそれぞれ大きいほうから
a,b,c,d,eとする。このとき以下の式が成り立つ。
   
  3k=10000a + 1000b + 100c + 10d + e
   =(a + b + c + d + e) + 9999a + 999b + 99c + 9d
   =(a + b + c + d + e) + 3*3(1111a + 111b + 11c + d)

以上より、(a + b + c + d + e)の部分が3の倍数でないと、
左辺のように3×(整数)の形にならないので、
ある数が3の倍数であるならば、各位の和は3の倍数となる。





4の倍数について


方法下2桁が’00’か’4’の倍数のとき、その数は4の倍数

証明とは言えないほどの説明(5桁の数で説明します。)
ある5桁の4の倍数を4kとする。またこの数の各位をそれぞれ大きいほうから
a,b,c,d,eとする。このとき以下の式が成り立つ。

  
  4k=10000a + 1000b + 100c + 10d + e
   =100(100a + 10b + c) + 10d + e
   =4*25(100a + 10b + c) + 10d + e

以上より、10d + e4の倍数か0であれば
左辺のように4×(整数)の形になるので、
ある数が4の倍数であるならば、下2桁が’00’か’4の倍数である。





7の倍数について


方法:ひっ算で確認!!!!

一応、それ以外の方法考えて見ましたが、あんまりいけてる方法分かりませんでした。
100=2*(7*7 + 1)って考えて式変形してみても、2*50の2倍が分かりやすい形に
させてくれなかったので、10の倍数に近い7の倍数を探すと
(10進数を表現しやすくしたいなと考えながら……)
1001がありました。(ちなみにそのあとは10003とか100002でした。)
下記のように考えると
3桁区切りの数を交互に異符号にして足し合わせた結果が7の倍数ならその数が7の倍数であることが一応分かりました。ですが最強の方法・筆算でいいと思います。

例:12341→(12)+(-341)→-329→-7*47 となるので12341は7の倍数。
  実際に12341=7*1763なので正しい。(やってみてください。)


証明とは言えないほどの説明(5桁の数で説明します。)
  
  7k=10000a + 1000b + 100c + 10d + e
   =1001(10a + b) + (- 10a - b) + (100c + 10d + e)

5桁以上の数でも同様に証明できるはずです。





11の倍数


方法各位の数を交互に異符号にして足し合わせた数が11であることを確かめる。


証明とは言えないほどの説明(5桁の数で説明します。)
  
  11k=10000a + 1000b + 100c + 10d + e
    =11(900a + 90b + 9c + d) + 100a + 10b + c - d +e
    =11(900a + 90b + 9c + d) + 11(9a + b) + (a - b + c - d +e)

以上より、(a - b + c - d +e)がの倍数であれば、11×(整数)の形になるので、
ある数が11の倍数であるならば、各位の数を交互に異符号にして足し合わせた数が11になる。




11の倍数の判定方法は意外と使える気がしますね。
7の倍数の判定方法でいい方法があれば教えてほしいなぁぁぁぁ。



まとめますー

・3の倍数は各桁の和が3の倍数であることを調べる。
・4の倍数は下2桁が’00’か4の倍数であることを調べる。
・7の倍数は筆算!!!!!
・11の倍数は各桁の数を交互に異符号にしたものの和が11であることを調べる。




何か気になることがあれば、コメントに残していただけると幸いです。