キソカラ

台形の面積を二等分する線の長さ

タイトルだけじゃわけわかんないので、結論からいきましょう！


このような台形について、以下のことが成り立ちます。
(ｄの線分は上底、下底と平行で、その左右で面積が二等分されています。)




ルートがついている分、ちょっとイカつめの式ですが、きれいですよね。
では、成り立つかどうかを確かめていきましょう。

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証明

左右で面積が等しいことから
　　（左の台形の面積）＝（右の台形の面積）　となるので、


この式を整理して、
　　ｘ：ｙ＝（b + d）：（a + d）
となる。

ｋを実数として、
　　　x = k*(b+ d) y = k*(a + d)・・・☆１☆　
と下準備しときます。


次に左右の台形の面積についての等式を別の形で考えて見る。
最初の台形の図で青い線で区切っているように、真ん中の長方形と２つ三角形に分けて面積を考える。
図形が分けられてややこしくなってきたので、番号をふりますね。


①と③の三角形は高さが同じなので、①と③をガシャーンと合体してもらって、
①＋③ ＝ 1/2*(d-a)*x　となる。

②は長方形なので
② ＝ ax

⑤も長方形なので
⑤ = ay

④と⑥については、(①+④)の三角形と(③+⑥)の三角形から、(①+③)を引いて求めていく。
④＋⑥ = (①+④)+(③+⑥) - (①+③)
　　　 = 1/2*(b-a)*(x+y) - 1/2*(d-a)*x


以上を（左の台形の面積）＝（右の台形の面積）として等式を作り変形していく。

ここでｘとｙに☆１☆を代入して、さらに変形していく。




以上で証明完了のはず。


おかしいとこあったら誰か教えてください。




その他何か気になることあればコメントいただけると幸いです。