台形の面積を2等分する線分の長さ ~メソポタミア文明の人は知ってたらしいで~

目標:台形の面積を二等分する線分の長さについて成り立つ関係を理解して、「ほーーーっ!」ってなる。




台形の面積を二等分する線の長さ


タイトルだけじゃわけわかんないので、結論からいきましょう!
台形.PNG

このような台形について、以下のことが成り立ちます。
(dの線分は上底、下底と平行で、その左右で面積が二等分されています。)
公式.PNG



ルートがついている分、ちょっとイカつめの式ですが、きれいですよね。
では、成り立つかどうかを確かめていきましょう。


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証明


左右で面積が等しいことから
  (左の台形の面積)=(右の台形の面積) となるので、
式1.PNG

この式を整理して、
  x:y=(b + d):(a + d)
となる。

kを実数として、
   x = k*(b+ d) y = k*(a + d)・・・☆1☆ 
と下準備しときます。


次に左右の台形の面積についての等式を別の形で考えて見る。
最初の台形の図で青い線で区切っているように、真ん中の長方形と2つ三角形に分けて面積を考える。
図形が分けられてややこしくなってきたので、番号をふりますね。
台形2.PNG

①と③の三角形は高さが同じなので、①と③をガシャーンと合体してもらって、
①+③ = 1/2*(d-a)*x となる。

②は長方形なので
② = ax

⑤も長方形なので
⑤ = ay

④と⑥については、(①+④)の三角形と(③+⑥)の三角形から、(①+③)を引いて求めていく。
④+⑥ = (①+④)+(③+⑥) - (①+③)
    = 1/2*(b-a)*(x+y) - 1/2*(d-a)*x


以上を(左の台形の面積)=(右の台形の面積)として等式を作り変形していく。
式2.PNG
ここでxとyに☆1☆を代入して、さらに変形していく。
式3.PNG



以上で証明完了のはず。


おかしいとこあったら誰か教えてください。




その他何か気になることあればコメントいただけると幸いです。












この記事へのコメント

今年から高齢者(ニックネーム)
2021年05月11日 22:40
メソポタミア(古代バビロニア)で、そのような問題を解いていたことは本当らしい。
「バビロニアの数学」室井和夫著,東京大学出版会
しかし、代数学が発達していたとは言え、そこに書かれたような文字を操った数学ができたとは思われない。
バビロニアで発達していた二次方程式に相当する問題の解き方(これも図形で解いたものと考えられる)を応用して、解いたものと思われる。
その推定方法は、ここでは図が書けないので、説明が困難です
下記を参照してください。
追加回答の欄に、載せておきました。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10243010705