三角形の三辺の長さが分かれば面積が分かったも同然のはず ~ヘロンまでたどりつきたいな~

目標:三組の辺の長さが分かったんなら、面積も分かった!と言いたいな。




3組の辺の長さが分かっているなら…


中学生の時に習った三角形の合同条件のまあまあ役に立たないものの1つに

 「3組の辺の長さがそれぞれ等しい」

という三角形の合同条件がありますね。


私はこの合同条件で証明問題を解いた記憶がないですね。
みなさんはいかがでしょうか?



さて、役にたたない合同条件が示す通り、
三組の辺の長さが決まれば、三角形はバチっと決まるはずです。

つまり三組の辺の長さが分かれば、面積もバチっと決まるはず!!!
言い換えれば、3辺の長さだけで面積が表現できるはず!!!


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3辺の長さだけで面積を表現してみる。


では次の三角形の面積を考えてみましょう。

三角形.PNG


三角形の面積は次のようになる。
(この面積の式についてはまたどこかでまとめたいなぁぁぁっぁ……)
式1.PNG

今分かっているのは辺の長さだけなので、sinAの部分を辺の長さで表現したい……
sinから直で行くのは無理そうなので、cosに寄り道してから行こうと思います。
cosと言えば、余弦(第二)定理ですね。
(余弦第一第二についてもまたまとめたいなぁぁぁっぁぁぁ)

では、余弦定理の式を上の面積の式に無理やりねじ込みます。

式2.PNG

以上のように三角形の面積を三角比使わずに
辺の長さだけで表現することができました。
つまり、

  「三組の辺の長さが分かったんなら、面積も分かった!」

と言えますね。






ヘロンの公式


ちなみに上記の面積を表した式を

 2s = a + b + c  として、ルートの中の因数をsを使って表現すると
 
  a-b+c = 2(s - b)
  a+b-c = 2(s - c)
 -a+c+c= 2(s - a) となる。これらをルートの中に入れると、

式3.PNG

と面積を表現できる。
この式のことをヘロンの公式という。






いきなりヘロンの公式を見ると、見た目が厳つすぎて仲良くなれなさそうですが、
今回みたいに、じっくりゆっくり面積を求めていくと意外と普通な式だと
感じられる気がしてくるような気がしませんかね……



 
 


以上、まとめていきます。

・三角形の三辺の長さが分かっているなら、面積も分かる。
・三辺の長さの情報だけで面積を求められる式・・・ヘロンの公式







式変形など気になるところや分かりづらい表現などありましたら、コメントいただけると幸いです。













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