アルジャブル! ~昔のかしこな人の二次方程式~

目標:面積を元に二次方程式を解いていく!




二次方程式の因数分解


さっそくですが、次の問題を考えてみましょう。
式1.PNG

普通に考えれば、以下のように解けると思います。
式2.PNG








しかし、最初から人間はこのようなやり方で方程式を考えていたのでしょうか?

実は大昔のアラビア数学によると、面積を考えて方程式を解いているのです。

いったいどういうことか、以下で考えていきましょう!



スポンサーリンク










面積で二次方程式


まず、式から次のような図形を考えます。
図形1.PNG

xの2乗をあらわす正方形ですね。
では次に、正方形の上と下にこのような長方形を引っ付けていきましょう。
図形2.PNG

それぞれ長さが1とxの長方形を作りました。
これでオレンジの部分で2xを表現できましたね。
青の部分とオレンジの部分の和で、与式の左辺になります。
すると、右上には一辺の長さが1の正方形ができますね。
それぞれの図形の面積を合わせて記載すると以下のとおりです。
図形3.PNG

さてここで4つの図形を合わせた形が
 
 一辺の長さが(x+1)の正方形

になっていることに気づきます。

また与えられた方程式から青とオレンジの
図形の面積の合計はであると分かります。

以上から、以下のような式が成り立ちます。
式3.PNG



よって、全体の正方形の面積が9であることから、
一辺の長さが3であればよいので、
xの大きさは
であると分かるということです!



………えっと、-4は?
って感じですが、面積で考えている以上、
マイナスの数字に意味がないような気がします。
当時のインドの数学では負の数を借金の計算
などから負の数を発見していたはずですが、
二次方程式における負の数の解はどうしていたんでしょうかね?
また調べてみますが、どなたか詳しい方がいらっしゃれば
コメントでぜひともお願いします。




アルジャブル


さて、以上のようにアラビア数学は方程式の解き方を発見し、
その方法がヨーロッパに伝わることで近代数学の
発展のきっかけになったらしいです。

へーって感じですね。


ちなみにタイトルのアルジャブル
方程式の移行を表す言葉だそうです。なんかかっこいいですね。





以上、まとめます。

・二次方程式は大昔から解かれていた。
・面積と対応付けることで方程式の解を求めることができる。
・負の数はどうなんだろう…








こちらでは立体で三次方程式を考えています。
ちょっとややこしいですが、






今回は特につっこみどころ満載の気がします。
何かあれば是非コメントでお願いいたします。








この記事へのコメント