アルジャブル! ~平面図形で2次なら立体図形で3次いけるやろ~

目標:立体を元に3次方程式を考える。




以前のアルジャブル!の記事では
面積を元に2次方程式を考えました。

3次方程式についても、立方体と直方体をうまく組み合わせることで
解を導けるようなので、やっていきます。


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立体で3次方程式


今回は次のような3次方程式を考えていきます。
式1.PNG


それではさっそく、図形で考えていきましょう!



まず、x^3を下の赤の立方体で考えます。
図形2.PNG


次に2xの部分を考えますが、
以前のアルジャブル!の記事では

 xの正方形の周りに長方形を引っ付けて、大きい正方形を作る

という操作をしました。

なので今回も同じように、

 xの立方体の周りに直方体を引っ付けて、大きい立方体を作っていきます!

引っ付けたイメージは以下の通りです。(☆1☆)
図形3.PNG

1つの青色の直方体の体積は x^2 *v で3つ引っ付いている。
(立方体の真下に青が1つあると想像してください……)

1つの黄色の直方体の体積は x*v^2 で3つ引っ付いている。

vの大きさは
「青色3つと黄色3つの和が2xと等しい」ことになるものとします。




また、右下手前には立方体のくぼみができています。
この立方体の一辺の長さは v ですね。







さてここで、青色と黄色の3つずつの直方体を
以下のように組み合わせます。(☆2☆)
図形4.PNG

この直方体は x*(x + v)*3v で体積が表現できますね。








これでようやく準備が整いました。

ここで u = x + vとします。

(☆1☆)の図を次のように表現します。
式2.PNG

また(☆1☆)の図は x^3+2x を体積で表現したものであるから、以下のようになる。
式3.PNG



また(☆2☆)の体積を表現した式を以下のように変形できる。
式4.PNG




以上より得られた式から、u^3 と v^3 の値を求める。
式5.PNG


ちょっと厳つい式になりましたが、やってることは2次方程式です。
以上より、xの値は以下のようになる。
式6.PNG


答えもだいぶ厳つい形になってますが、以上で完了です。
(計算ミスあれば教えていただけると幸いです。)





以上、まとめます。

・立体を考えて3次方程式を処理できそう。
・ただし、x^2の項があるともう少し考え方を工夫する必要がある?
・また、答えはだいぶ厳つくなる。












なにかあれば、コメントいただけると幸いです。






<参考>解析教程 上 (シュプリンガー・フェアラーク東京)

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