中間値の定理を証明したい ~だんだん狭めていく~

目標:中間値の定理を証明しようとする。



数Ⅲの「連続関数の性質」で中間値の定理が出てきますが、
教科書では「これが成り立つんだよね、以上!」みたいな感じなので
証明したいなと思っています。


ただ、教科書で証明が省かれるのには相応の理由があるはずで、
その辺のことを察して今回は記事冒頭の目標が弱腰です。
頑張ろうとすることだけでも素晴らしいことだと思いませんか?



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中間値の定理とは


さて、中間値の定理ですが、教科書では次のようにされています。
f(x)が閉区間[a,b]で連続で、f(a)≠f(b)のとき、
f(a)とf(b)の間の任意の値kに対して、
   f(c)=k (a<c<b)   となるcが少なくとも1つある。



グラフにすると次のような形です。
直観的には「確かにそうなりそう…」ってなりますね。
中間値の定理.PNG




証明の考え方


さて、今回の方針を次のようにします。
・区間の範囲を両端から半分ずつ狭めていく。
・狭める途中でcが見つかればラッキー。
・途中で見つからなくても、狭めた結果、両端の値は近づく。
・両端の値は近づき収束して、その間に絶対cがあるから証明できた!



という感じです。
できるだけ数式だけでなく日本語で何をしているか
細かく書きながら進めていこうと思います。





中間値の定理の証明


まず区間の狭め方ですが、
ネットで見つけた資料
の文言通り、両端のちょうど真ん中の区間で関数がとる値を調べて、
場合分けをしていこうと思います。

以下、具体的に数式交えながら進めます。


数学的帰納法を使って範囲をどんどん狭めていきたいので、
まずn=1で1回狭めても、狭めた両端で関数がとる2つの値
の間にkがあることを示します。

f(x)の閉区間[a,b]について、仮定より
  f(a)<k<f(b)
である。

ここで
aとbの真ん中の(a+b)/2について以下のように調べる。
式1.PNG

次の③の場合は、幸運にも中間値の定理が発見された場合となる。
式1-2.PNG




これで
1回(n=1)範囲を半分に狭めると、その狭めた範囲の両端の関数の値
f(a1)とf(b1)の間に、任意の値kがあることが示された。




この
「狭めても、狭めた両端で関数がとる2つの値の間にkがあること」
が狭める操作を何回繰り返しても成り立つことを数学的帰納法で示す。



狭める作業をp回行ったとする。(n=p)
このとき
   f(a_p)<k<f(b_p)
が成り立つと仮定する。


ここでさらに範囲を狭めていく。
式2.PNG

n=1のときと同様に、
③の場合は、幸運にも中間値の定理が発見された場合となる。
式2-2.PNG


これで
「何回狭める作業を繰り返しても、
 その両端の関数のとる2つの値の間にkがある。」
ことが示された。





このあとは、
「両端をひっつくほどめっちゃ近づけた時」を考えていく。

とても狭めた時、つまり a_n のnを無限大に近づけたときの極限値を考える。
a_n が発散しないことを示す必要があるので、
上から押さえつける式を作っていきましょう。
式3.PNG


上で得られた式を数列と考えて、次のように変形します。
式4.PNG


これでa_nを上から抑えられた。


ここでn→∞のときのa_nとb_nの極限値を考える。
式5.PNG



以上から、極限値で挟んでいくと、
式6.PNG


以上より、中間値の定理が証明できた。



まとめます。
・証明は大変。
・教科書に載せない気持ちが分かる。





反省


今回の証明に当たって、
等比数列や極限のことについてもっと記事を増やしてから書けば
楽に書けただろうなと感じたので、がんばって記事を増やそうと
思いました。

ブログタイトル通り「基礎から」進めようと思いました。





極限のところとかで突っ込みどころあると思います。
コメントいただけると幸いです。












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