掛け算を足し算で考える ~掛け算の筆算は大変~

目標:掛け算が大変な時に足し算をしたくなる。


まずは次の計算を考えて見ましょう。
式1.PNG



さすがに暗算はきつそうなんで、筆算をするのですが
筆算数とこんな感じになります。
式2.PNG


・・・筆算でもややしんどいですね。

掛け算の筆算は
桁数が増えるほど計算する量がどんどん増えてしまう
ので大変ですね。




ところで、足し算の筆算は以下のようになります。
式3.PNG
足し算では
1桁増えても計算が一回増えるだけ
掛け算の筆算よりはだいぶましですね。





ここで次のようなことを考えてみます。

掛け算を足し算に変えることができたら楽にならないかなぁ?


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掛け算を足し算に変える 積和公式


掛け算を足し算に変えることを考えるときに
三角関数が大いに関係してきます。

一般的に積和公式と言われるものですね。

それでは以下で、積和公式の1つを加法定理から
導いていこうと思います。
(加法定理はさーっと使います。
 加法定理については記事作成中……)

正弦の加法定理は以下のようになりますね。
加法定理1.PNG



ここで上下の式を足し合わせて両辺を2で割ると
以下の等式が成り立ちます。
積和公式1.PNG



以上の式を右辺から左辺へと見ていくと
掛け算が足し算に変わっていますね!



それでは最初の
「3907×5592」を足し算に変えてみましょう。




積和公式を使ってみる!


ここで三角関数表を見てみましょう。
リンク:三角関数表



すると
 sin23°=0.3907
 cos56°=0.5592
であることが分かると思います。



これらを積和公式を利用して変換していきましょう。
式4.PNG

上の筆算の結果と比べてどうでしょうか。
おおよそ正確な計算ができていますね。

途中の計算に注目すると
桁数の多い掛け算単純な計算
になっていますね。






対数へ


上記のように桁数の多い掛け算を足し算に変換することは
天文学などの分野で計算を楽にするために考えられていたようです。

そこで掛け算を足し算に変えることに需要があることに
気づいた天才たちが
対数
というものを生み出していくことになります。

この続きはまた別の記事で書きたいと思います。




以下、まとめます。
・桁数の多い掛け算は大変!
・足し算なら桁数増えても掛け算ほど大変ではない!
・積和公式で掛け算を足し算に変えていこう!






続き:指数関数で足し算を掛け算に



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