三平方の定理の証明 ~ピタゴラスの定理とはあまり言いたくない~

目標:三平方の定理を証明する。



三平方の定理とは


まずは三平方の定理を確認しましょう!
直角三角形.jpg
三平方の定理_式.PNG

直角三角形の3辺について上記のような関係が成り立つことを
  三平方の定理
といいます。

ピタゴラスの定理という名称もありますが、
私はピタゴラスが発見したとは思っていないので
三平方の定理としておきます。




それでは以下で三平方の定理を証明していきたいと思います。

今回は余弦定理の証明の前振りにしようと
考えているので、正方形を引っ付けた図形で証明していきます。


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三平方の定理の証明


まずは次のように直角三角形の各辺に
正方形を引っ付けていきます。
ベース.PNG


そして点Cから対辺に垂線を下ろしていきましょう。
垂線直角三角形.jpg


ここからこの垂線の左右に分けて、話を進めていきます。

目標は次の図形において
  青い三角形の面積=緑の三角形の面積
  紫の三角形の面積=オレンジの三角形の面積
を示すことです。
4つ2 - コピー.png





青い三角形を次のように等積変形します。
移動1.gif


緑の三角形も同様に変形します。
移動2.gif


すると変形後の青い三角形緑の三角形
  2組の辺とその間の角が等しいので、
合同になっていますね。
(ここ分かりづらければコメントください。)





次は垂線の右側についても同様の操作を行います。
以下のように等積変形していきます。
移動3改.gif
同様の理由で、
紫の三角形オレンジの三角形
合同になっていますね。





ここで変形前の図形に戻ります。
4つ2 - コピー.png


一辺cの正方形(下の正方形)の面積は
 青い三角形×2 + 紫の三角形×2
となっています。

青い三角形緑の三角形
紫の三角形オレンジの三角形

なので
  緑の三角形×2 + オレンジの三角形×2 
    = 青い三角形×2 + 紫の三角形×2

が成り立つ。これは言い換えれば

 左上の正方形の面積)+(右上の正方形の面積)=(の正方形の面積)

となっており、直角三角形の3辺でそれぞれの正方形の面積を表すと
 式1.PNG

となり、三平方の定理が証明できた。







以下、まとめます。


・直角三角形に正方形を引っ付けることで三平方の定理が証明できる。



他にも内心円を使った証明や台形を使った証明など
三平方の定理の証明はたくさんあるので時間があればやろうと思います。



今回はgifを頑張って作ってみました。
手間がかかり大変でした……


関連:余弦定理の証明
   4つの直角三角形で三平方の定理の証明


ご意見ご要望などありましたら、コメントいただけると幸いです。

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