余弦定理 ~三平方の定理をちょろっと変えてみる~

目標:余弦定理を三平方の定理と同じように証明する。




以前の三平方の定理の記事で
直角三角形の3辺に正方形を引っ付けて
三平方の定理を証明しました。

今回は直角の無い三角形にも同じように正方形を
ひっつけて(第2)余弦定理を目指したいと思います。



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余弦定理とは



余弦定理とは以下のような三角形に関する式を言います。
三角形1.jpg
余弦定理式.PNG

一見複雑に見えますが、
右辺の「ー2bc cosA」を除けば三平方の定理そのものですね。

三平方の定理と形が似ていることから、
証明も同じような方法で行ける気がしてきますね。




証明


まずは三角形の3辺に正方形をそれぞれ引っ付けていきましょう。
また各頂点から対辺への垂線も引いておきます。(点線)
三角形2.PNG


次に三平方の定理のときと同様に
以下のように等積変形をしていきます。
等積変形1.gif


青い三角形緑の三角形
紫の三角形オレンジの三角形
となります。(ここが分かりにくければ、三平方の定理の証明を先にご覧になってください。)

このことから一辺cの正方形(下の正方形)の面積と
等しい部分を考えると以下の画像より    
   ①+②=③
となる。
余分の長方形2.bmp




残るは茶色水色の長方形の面積をどのように表現するかを考える。

茶色い長方形について長いほうの辺は正方形と共通しているので
長さはaである。

短いほうの辺については以下のように考える。
三角形茶色2.PNG

短いほうの辺は隣り合っている直角三角形から
三角比を利用して「b*cosC」と表現できる。


水色の長方形も同様にして
長い辺が「b」短い辺が「a*cosC」と表現できる。
三角形水色2.PNG



以上より、
  (下の正方形)=(左上の正方形)+(右上の正方形)ー{(茶色)+(水色)}
となるので、それぞれ三角形の辺の長さと三角比で表現して
式1.PNG


以上で証明できた。



今回は鋭角三角形を使ったが、鈍角三角形でも同様に証明できる。
(三角形が正方形から飛び出すからやや見にくいが…)


冒頭の余弦定理の式と証明の最後で示した式の文字が
異なるものになっているが、結局は同じことを
あらわしており、一般に次のように言うことができる。
式2.PNG




三平方の定理と余弦定理


証明の中で察しがついたかと思いますが、

  余弦定理・・・三平方の定理を「-2ab*cosC」で調整したもの

と言っても差し支えなさそうですね。


高校数学では余弦定理の暗記は必須で
項数が多いだけに覚えるのも大変ですが
三平方の定理と似ていることから以上のような
イメージを持つと幾分覚えやすいですね。




以上、まとめます!

・余弦定理は三平方の定理をちょっと調整したもの



関連:三平方の定理の証明
   三角比
   


今回もちょろっとgifアニメを作りました。
作るのは大変ですが、等積変形がイメージしやすくなりますね。

ご意見ご要望等あればコメントいただけると幸いです。



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