掛け算を足し算で考える ~指数関数と対応する数~

目標:指数関数を利用して掛け算を足し算に変えていく。




以前の
こちらの記事
三角関数を利用して掛け算を足し算に変えてみました。

今回は三角関数とは違った視点から
掛け算を足し算に変えることを考えていきたいと思います。


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指数関数


まずは次の関数を考えてみましょう。
式1.PNG

次にこの関数のxとyの値の組をいくつか表にまとめましょう。
指数関数_表.PNG



実際に表を作ってもらうとよくわかると思いますが、
この表を縦向きに見る人がほとんどではないでしょうか。
(「x=2のとき……y=4か!」といった具合に……)



今回は敢えてこの表を横向きに見ていきます。
すると2つの数列が見えてきませんか?




以下のように、表の上と下でそれぞれ等差数列と等比数列ができていますね。
指数関数_表2.PNG


つまり下の数列が掛け算で表されるのに対して、
上の数列は足し算で表されるわけです。

この対応を利用すれば
掛け算を足し算に変える」ことが
できそうな気がしませんか?



掛け算を足し算に


さて再度同じ表を見ていきましょう。
指数関数_表.PNG

掛け算は下の数列で考えるので、
今回は y=2 と y=8 の掛け算を考えましょう。

それと同時に上の列では、y=2 と y=8 に対応する
x=1 と x=3の足し算を考えましょう。
すると次のようになります。
表3.PNG


……気づきましたかね。
それぞれの計算結果の「4」と「16」は
表の対応と一致していますね。
(表のx=4のところを見るとy=16になっています。)
(試してもらえるとわかりますが、これと同じことは
この表のすべてで成り立ちます。)




さて、このことを式にすると以下のようになります。
式2.PNG


よかった!
これで無事に「掛け算が足し算」で表現できましたね!










ただなんか有難みがないですよね。
前回の三角関数であればある程度の精度であれば
いろいろな掛け算ができそうでしたが、今回の考え方だと
2の倍数同士の掛け算しか使えなさそうだし、
何より今回みたいな場合だと普通に筆算や暗算したほうが速そうですね。





そこで指数関数を少し工夫していろいろな掛け算に
対応できるようにしていきたいと思います!



が、そこはまた今度ということで
今回は
 指数関数掛け算を足し算に変えれそう
と感じれたところで終わります。




上と重複しますが以下、まとめます。

・指数関数の対応を考えて、掛け算を足し算に変えることができそう




今年でセンター試験がラストなので
センターの過去問なんかを取り扱ってみたいなぁ
みたいな気持ちも少しありつつ……

なんか要望あればコメントいただけると幸いです。


次回:すこーーーーーーーしずつ減る指数関数
前回:三角関数で掛け算を足し算












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