内角の二等分線と外角の二等分線 ~内は外で外は内~

目標:三角形の角の二等分線についてなりたつ定理を知る。


三角形について成り立つ定理はたくさんありますが、
今回は
 角の二等分線に関連する定理を
2つ見ていこうと思います。







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内角の二等分線


いきなりですが、結論から。

三角形の内角の二等分線について
以下のようなことが言えます。
内角_.png内角式1.PNG

左側:右側=左側:右側
の形になっているので比較的覚えやすいですね。

この定理については中学校の教科書でも
証明されているようです。
では以下で証明します。


内角証明.png
三角形ABCにおいて角Aの二等分線とBCの交点を点Dとする。
点Bを通りADと平行な線を引き、この平行線とACとの交点を点Eとする。

平行線の同位角から
 ∠CAD=∠AEB
平行線の錯角から
 ∠DAB=∠ABE
よって、三角形ABEはAE=ABの二等辺三角形。(★)

三角形CAD∽三角形CEBなので(2組の角が等しい)
 CA:AE=CD:DB
(★)より
 CA:AB=CD:DB

以上



三角形の内角の二等分線について、
証明のスタートで引く平行線の補助線は
 三角形の外側に引く
という風に覚えておくといいと思います。



外角の二等分線


こちらも同様、結論から

三角形の外角の二等分線に関して
以下のことが言えます。
外角.png外角式1.PNG

内角の二等分線のときに比べて、
少し覚えにくいですね。
この対応式をそのまま覚えるのは辛いので
私は以下の証明の手順を覚えるようにしています。

では証明にまいりましょう。


外角証明_改.png
三角形ABCにおいて、角Bの外角の二等分線とACとの交点を点Dとする。
BDと平行で点Aを通る直線とBCとの交点を点Eとする。
またBCの点B側の延長線上に点Fをとる。

平行線の同位角より
 ∠DBF=∠AEB
平行線の錯角より
 ∠DBA=∠EAB
よって、三角形BAEはBA=BEの二等辺三角形。(★)

三角形CAE∽三角形CDBなので(2組の角が等しい)
 CD:AD=CB:EB
(★)より
 CD:AD=CB:AB

以上




三角形の外角の二等分線について、
証明のスタートで引く平行線の補助線は
 三角形の内側に引く
という風に覚えておくといいと思います。



証明の覚え方


数学の問題を解くだけであれば、
式を丸暗記で十分だと思います。

ただ外角の二等分線については
私はどうしても覚えるのが大変なので
証明のスタートだけ覚えるようにしています。
(そこまで大変な証明ではないですしね。)

内角、外角どちらの場合も最初に平行な補助線を引くので
その補助線の引き方だけ覚えておけばいいと思います。

補助線は
 内角の場合は、三角形の外に
 外角の場合は、三角形の内に
引くことになるので、私は次のように覚えてます。

「内は外、外は内」



以下、まとめます。

・三角形の二等分線について、成り立つ定理がある。
・覚え方は「内は外、外は内」





センター形式の問題でたまーーーーーーに
外角の二等分線を利用したものを見ます。

たまに出てきたときになかなか思いつかなくて
苦しむ人が多いのではないかなぁと思います。

はずかしながら、私もこの間苦しみました。


何かあれば、コメントいただけると幸いです。


関連:三平方の定理の証明

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