三平方の定理の証明2 ~4つ直角三角形と真ん中の四角~


目標:三平方の定理を証明する


以前のこちらの記事
三平方の定理の証明をしました。
以前の証明は余弦定理の証明
前振りでもあったので、今日は違う方法で三平方の定理を証明します。






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三平方の定理


書くまでもないかと思いますが、
以下が三平方の定理です。
図1.PNG

では以下で、証明します。


三平方の定理の証明


今回は4つの直角三角形を次のように
組み合わせて、正方形を作ります。
図2.PNG

さて、この一辺の長さがa+bの正方形は
次のように二通りの方法で面積を表すことができます。

 ・(4つの直角三角形の面積)+(一辺cの正方形の面積
 ・一辺a+bの正方形の面積

3辺の長さa,b,cを使うとそれぞれの式は次のように表現できます。
式1.PNG


これらの式はどちらも一辺の長さがa+bの正方形の面積
なので、イコールで結ぶことができますね。
その等式を以下のように変形すると、
式2.PNG

という風になり、三平方の定理が証明できました!



以下、まとめます。

・直角三角形を4つ組み合わせることで三平方の定理を証明できる。


4つの直角三角形の斜辺を外側にして一辺cの正方形を
作っても同じような証明ができますね。
時間があれば追記します。

何かあればコメントいただけると幸いです。


関連:正方形を引っ付けて三平方の定理の証明
   余弦定理の証明

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