三平方の定理の証明4 ~直角三角形と内接円~

目標:直角三角形に内接円を描いて三平方の定理を証明する


内接円を利用して三平方の定理を証明します。

☆他の三平方の定理の証明☆
三平方の定理の証明 ~ピタゴラスの定理とはあまり言いたくない~
三平方の定理の証明2 ~4つ直角三角形と真ん中の四角~
三平方の定理の証明3 ~大統領の台形~







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三平方の定理


書くまでもないかと思いますが、
以下が三平方の定理です。

図1.PNG

では、以下で証明します。



三平方の定理の証明


以下のように、直角三角形に内接円を描きます。
内接円の半径はひとまずとしておきます。
図2.PNG

図のように各頂点から内接円の中心(内心)に
むかって線分を引くと、直角三角形が
3つの三角形に分けられますね。

この3つの三角形はそれぞれ底辺が
a,b,cで高さが全てrの三角形になるので、
直角三角形の面積Sは次のように表現できます。
式1.PNG

また直角三角形の面積Sは単純に1/2abとも表現できることから
以下のような関係式が成り立ちます。
式2.PNG

上記の☆1☆の式のrをa,b,cを使って表現できれば
直角三角形の三辺だけで表した関係式になるので
rをa,b,cを使って表現することを考えます。

下の図のように三角形を分けて考えると、
図3.PNG
ピンクオレンジの三角形
の三角形
それぞれ「直角三角形の斜辺と他の一辺がそれぞれ等しい」ことから
合同になっており、ピンクの三角形の底辺がそれぞれb-ra-rであることから
以下の式が成り立つ。
式3.PNG

この式を☆1☆の式に代入すると次のようになる。
式4.PNG

以上より、三平方の定理が成り立つ。

以下、まとめます。

・内接円を考えることで三平方の定理を証明できる。


何かあればコメントいただけると幸いです。


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