トレミーの定理 ~まるのなかのしかく~

目標:トレミーの定理を証明する。


試験で便利!ってことはあまりないかと思いますが、
証明をしていこうと思います。

約2000年前に見つけられていたことを考えると
トレミーさん(プトレマイオスさん)すごいなぁ…






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トレミーの定理


以下が、トレミーの定理です。
円に内接する四角形について成り立つ定理ですね。
図0.PNG
式1.PNG
式のシンプルな印象とは裏腹に
今回する証明の計算量は意外と多い印象です。

では、以下で証明をしていきましょう。

トレミーの定理の証明


まず以下のように円に内接する四角形を考えます。
思考の方向としては、
「この図形について言える関係式(余弦定理から)から
 最終的に余分なもの(θとかφとか)を取り除いて
 a~fだけで表現された関係式を作ること」
を目指します。
図1.PNG

上の図より、
θに注目して余弦定理を使いましょう。
式は以下のようになります。
式2.PNG

また円に内接する四角形の対角同士の和
180度となるのでθの対角についても余弦定理を使いましょう。
式3.PNG


これら二つの式はどちらもcosθを表しているので
右辺同士でイコールの式が成り立ちます。
その式を以下のように変形します。
式4.PNG

これと同じことをφについての余弦定理でしていきます。
φについての余弦定理の2式からfについての式を求めます。
が、同じことなので計算は省きます。
(いい計算練習になると思うので、やってみるのもいいかと思います。)

結果として以下のようになります。
式5.PNG

以上より、eとfについての式ができたので、
2つの式を両辺で掛け合わせます。
すると以下のようになります。

式6.PNG

以上より、トレミーの定理が証明できました。
式を作るのが大変でした…

以下、まとめます。

・余弦定理を使ってトレミーの定理を証明できる。


何かあればコメントいただけると幸いです。


関連:余弦定理 ~三平方の定理をちょろっと変えてみる~
   

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