掛け算の順序 ~終わらない争い~

目標:「掛け算の順序」問題を考える。


「掛け算の順番」については
議論がいろいろとありますよね。

例えばこんな問題

問題1.png


これを「4×7」と表現するか「7×4」と表現するか
について「順番どっちでもいい派」と「順番決まっている派」で
対立があるみたいですね。



どちらかの正しさを支持すると
めんどくさい争いに
巻き込まれるので、
それぞれの立場の主張を
私なりに読み取って、
そこから感じたものを
メモしとこうと思います。


なお、それぞれの立場の意見は
主にツイッターで適当に検索して
それをだらだら読んだだけですので
悪しからず。






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順番どっちでもいい派


「順番どっちでもいい派」
方々の意見は以下のようなものでした。

・結果が同じなのだから、どっちでもいい。

・順番が変わろうが、その式が意味している
 もの(アメの総数)は同じだからどっちでも
 いい。

・実数の集合に対する乗法は可換
 だからどっちでもいい。


最後の意見は群論の考え方でしょうかね。


順番決まっている派


「順番決まっている派」
方々の意見は以下のようなものでした。

・順番が違うと文章と式が合わなくなる。
 (4×7だと4個のアメが7袋だが
  7×4だと表しているものが違う?
  ということだと思われる。)

・算数と数学は違う
 (算数は日本語に対応していないと
  いけない、みたいな表現だった
  気がする)

・前側の数字の単位に合わせる意識が
 ないと、割り算の習得で苦労する。
 (28個のアメを4つずつ分けるには
  袋がいくつ必要みたいな問題のこと?)


こちら側の意見は数学的な視点とは
別の視点からの主張という気がします。



対立すること自体が…


これら2つの立場に対して
私は次のように感じました。

「順番どっちでもいい派」
 まぁ、数学的にはそうだし、
 妥当な意見だなー

「順番決まっている派」
 順番を意識させることで子供に
 つけさせたい能力があるのはすごく分かる。


八方美人ぽくなってますが
現時点の本音のつもりです。

そもそも、それぞれの目先が
「数学的正しさ」と「教育的見通し」
で違っているので、対立すること自体が…

と感じました。



中等教育以降の視点だと
「順番どっちでもいい派」
多いだろうし、
初等教育の視点だと
「順番決まっている派」
多いのだろうと思います。

私は小学生から高校生まで関わることがあり、
その中には国立大を志望する優秀な子もいますし
身体的ハードルや発達的な課題を抱えている子も
います。

彼らそれぞれの様子を見ていると、
「順番決まっている派」
「教育的見通し」を持つことは
苦手なものに挑戦する子供への
後押しの際に重要になると思います。


(ただ、「順番決まっている派」の
 意見の半分くらいは
 個人の感想や抽象的な内容が
 多いのは否めないと感じました…)



私の考え


以上を踏まえて私は次のように考えます。

・「4×7」、「7×4」のどちらかを
 間違っていると判断することはできない。
 可換であるのもそうだし、問題の文章に
 式を合わせないといけないとしても
  「4個のアメが7袋分」
  「袋の数7この4倍」
 と2通りに解釈できる。

「順番決まっている派」の意図する
 「文章-数式」間の「読む力」などは
 「7×4」をバツにすることで
 育てようとするのではなく、
 教材の工夫などで育てようとするべき。
 (大変なのはすごく共感しますが、)



そう言えば「文章ー数式」はおかしいですね。
文章や数式は「事象」の側面と考える方が
自然な気がします。
そういう意味では思考の順は
「文章ー事象ー数式」
なのかなぁ。



他にもいろいろ感じたことはありますが、
疲れたのでそろそろまとめます。



・結論:アメは28個




掛け算の順番問題って
Wikipediaに記事があるんですね。笑
Wikipediaの外部リンクに
こんな記事があったので
興味ある方はご覧になられては…


何かあればコメントいただけると幸いです。


関連:倍数のお話 ~3,4,7,11の倍数~

この記事へのコメント

θλ
2020年01月18日 20:14
>「7×4」をバツにすることで育てようとするのではなく、教材の工夫などで育てようとするべき。
私もそう思います。
しかし、それを順番決まっている派の方々に言っても代案を出しても、なかなか賛同は得られないんですよね…。

>前側の数字の単位に合わせる意識がないと、割り算の習得で苦労する。
>(28個のアメを4つずつ分けるには袋がいくつ必要みたいな問題のこと?)
順番でバツにならないためのテクニックとして、「全部で何個?」と聞かれたら問題文上において単位が答えと同じく"個"になっている数字を前側に持ってきて「4個×7袋=28個」とする方法があります。これが単位を合わせるということです。なお、「全部でいくら?」だと通用しません。また、これをルールだと誤認している人が少なくありません。
掛け算の順番と割り算の繋がりには諸説ありますが、単位を合わせることに関わる意見だと「割り算でも同様に被除数と商の単位が合う」というものが挙げられます。「28個の飴を7袋に分ける1袋当たり何個か」なら"個"が前側で28個÷7袋=4個、単位を意識しないとどちらが前側でどちらが後側か分からなくなる、と言うのです。そして、この方法に頼った結果、「4個ずつ分けると何袋になるか」という問題で苦労することになるのです。
たかを
2020年01月20日 11:46
θλさん、コメントありがとうございます。


> 順番決まっている派の方々に言っても代案を出しても、なかなか賛同は得られないんですよね…。
 →すごく共感します。議論にすらならないようなときは正直ウンザリしてしまいます…

> 順番でバツにならないためのテクニックと して、「全部で何個?」と聞かれたら問題文上において単位が答えと同じく"個"になっている数字を前側に持ってきて
 →なるほど、そういう論理なのですね。

> この方法に頼った結果、「4個ずつ分けると何袋になるか」という問題で苦労することになるのです。
 →結局、日本語に直接対応させるような発想そのものに無理があるよなー、と私は感じます。そういう意味ではこのような発想は「できない子にも見かけ上、できるようにしておきたい」という大人側のエゴを感じないでもないです。(気持ちは分かりますが…)

「前側の数字の単位に合わせる・・・」という意見の意味するところが理解できなかったので、非常に勉強になりました。ありがとうございました。