目標:二次関数の最大値を求める。


このページ
二次関数の頂点を
求めました。

頂点が分かれば他にも
分かることが出てきそうです。

そこで今回は
変域を設定して
二次関数を調べてみます。







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問題



式1.bmp
この時の二次関数の最大値を求めよ。


頂点から離れるほど・・・


では2次関数を適当に書いてみましょうか・・・
図2.bmp

このままじゃ何にも分からないので
このページでやった通り
平方完成していきます。

式2.bmp

2乗の部分が一番小さくなるように
考えるとx=-3ですね。

つまりx=-3で最小値が4
になりますね。
グラフに情報を加えて・・・
図3.bmp


さて、グラフを見て
明らかなことを
あえて言葉にすると
「頂点から離れるほど
 値は大きくなる!」

のは間違いなさそうですね。

そういう意識で変域
考えるとどうでしょうか?
変域の範囲で、x=-3から
出来る限り遠ざけようとすると
xはいくらになるでしょうか?








X=-5で頂点から一番遠そうですね!!!



それらを踏まえて変域の情報を
グラフに加えると・・・
図1.bmp

つまりx=-5でグラフは
最大値を取りそうなので
2次関数の式に-5を代入して
最大値は8になりますね。

端っこが伸びたり縮んだり?


さて、今回は変域の左端が
最大値となりましたが、
変域によって最大値を
とる場所は当然異なります。



もっと言えば以下の問題のように
変域が定まっていないときには
場合分けをして考えなければいけません。

式3.bmp
この時の二次関数の最大値を求めよ。



このときは以下のようなイメージで
変域を伸ばしたり縮めたりして
場合分けをしてみてください。
nijikannsuu.gif




右端のaの値が頂点からどれだけ
離れているのか次第ですね。

最大値をとる場所が
変わる瞬間を考えて・・・
場合分けはどうなるでしょうか・・・











場合分けが
・a<-1
・a=-1
・a>-1
でできていれば
ばっちりだと思います。


細かいところは疲れたので妥協します。

では以下でまとめます。

・頂点からどれだけ離れているか
・変域を伸び縮みさせる
・そして最大値を調べる





少し時間ができたので更新。
今年はいろいろイレギュラーに
なりそうですね・・・
受験生が少しでもいい形で
受験できるようになればいいなぁ



何かあればコメントいただけると幸いです。




関連:なぜ平方完成