点と直線の距離公式 ~険しさの先の美しさ~

目標:点と直線の距離を知る


直線の方程式を学んだ最後に
ラスボスみたいな感じで
やってくるのが
点と直線の距離公式ですね。

そのあとの円の方程式でも
ちょくちょく出てくるあたりは
序盤のボスキャラが
終盤雑魚キャラとして出てくる
ような感じですね。
(ゲームしない方、すみません・・・)

それでは点と直線の距離公式
見ていきましょう。





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点と直線の距離公式


絶対値とかルートが入ってて
パッと見いかついですね・・・

0.jpg
式0.jpg

それでは以下で証明をしていきましょう。

証明


まず以下のように点Aから
・直線への垂線
・x軸に平行な線
・y軸に平行な線
の3本を引きます。
junnbi.gif

上の図のAHの長さが
今回のゴールである
点と直線の距離ですね。


下準備!
直線の式に点Aの座標を代入して
点B、点Cの座標を
調べておきましょう。
図に情報を書き加えると
↓こんな感じ↓
3.jpg


さて、
直角三角形の中に直角三角形
なので相似
見つけたくなりますね。

今回は
△BHA∽△AHCに注目して
対応する辺の比の式から
AHの長さを求めていきましょう。

相似な図形の
対応する辺の比の
式からスタートして・・・
式1.jpg

ここでABとACを
点Aや直線の式から
得られる情報で表現すると
以下のようになります。
式2.jpg

これらをABとACに
代入していくと・・・
(厳つさすごいですが、)
式3.jpg
となります。

最後にルートをつけて
整理するときに
少し注意して・・・
式4.jpg


これで
点と直線の距離公式まで
たどり着くことが
できました!



この手順を毎回踏めば
具体的な問題も当然
解決できますが・・・

証明した感じだと
毎回この手順を踏むよりは
暗記して便利に使った方が
いいような気がしますね。


以下まとめます。
・点と直線の式が分かればその間の距離もわかる。
・点と直線の距離公式は覚えた方がよさげ



バタバタして
見返しとかできてないです・・・
ミスなど、何かあれば
コメントいただけると幸いです。


関連:トレミーの定理

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