掛け算を足し算で考える ~すこーーーーーしずつ変わる関数~

目標:すこしずつ変わる指数関数を利用して掛け算を足し算に変えていく。





以前の
こちらの記事
指数関数を利用して掛け算を足し算に変えてみました。



しかし上記のページのやり方では2の倍数でしか
簡単な計算に持ち込むことができませんでした。
つまり前回までは
  「考え方は悪くない」が、「やり方が悪い
という状態でした。



そこで今回は指数関数を工夫して
掛け算を足し算に変えることを考えていきたいと思います。


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指数関数を小刻みにする


前回の「2を底にした指数関数」では次のような問題点がありました。

 ・2の倍数以外の掛け算を考えるとき指数が整数にならない。
 ・指数の値が大きくなればなるほど増加量が増えていくので
  大きい値に対して指数を考えることが難しい。

以上の問題点を実感するために
例として「2×9」と「32×100」を考えてみる。

まず「2×9」から
式1.PNG

少々乱暴な表現ですが、
おおよそ16と32の間の前のほうにある値で見当がつきますね。



ではつぎに「32×100」です。
式2.PNG

こちらも乱暴な表現ですが
おおよそ2048と4096の間で値の見当がつけられるはずですが、
上の例に比べて、見当をつける範囲がバカ広いですよね。



つまり「2を底にした指数関数」では
値の変化が急激過ぎて今回の目的である
掛け算を足し算に変える」のには
不向きなわけです。


そもそもこのお話は和積公式を利用した記事で書いたとおり、
桁の多い掛け算は大変だから足し算に変えたい
ところからスタートしているので、
桁が増えるほど見当をつけるのが難しくなるので
あればあまり嬉しくはないですね。



そこで今回の目的「掛け算を足し算に変える」ために
すこーーーーーーしずつ変わる指数関数」を考えましょう。




少しずつ変わる指数関数


今回は昔の天才のアイデアに習って
次のような関数を考えていきましょう。
指数関数.PNG


この関数に n=1,2,...と代入していただければ分かりますが
すこーーーーーーしずつ減る関数になっています。

具体的にどのような値をとるかは以下に
エクセルのファイルでまとめてあります。
ファイル:すこーーーーーーしずつ減る関数の表


これで「掛け算を足し算に変える」準備が整いました。
以下で「すこーーーーーーーしずつ変わる関数」と「表」を活用して
実際に計算をしてみましょう。




掛け算を足し算に


それでは以前の和積公式を利用したときと
同じように「3907×5592」を考えていきましょう。

まずすこーーーーーーしずつ減る関数の表から「3907」と「5592」に近い値を探します。

このとき表の中の数字は「0から1」の値しかないので
桁は「10の4乗」で調整していきます。

すこーーーーーーしずつ減る関数の表より
「3907」には「n=93」、「5592」には「n=58」
を対応させることで以下のように考えることができます。
式3.PNG

この結果は実際の「21847944」と比較的近いですね。

このようにある程度の精度ではありますが、
指数関数を用いて「掛け算を足し算に変える」ができました!




以下、まとめます。
・すこーーーーーーーしずつ変わる指数関数を用いることで掛け算を足し算に変えることができた!





指数関数からlogへ


今回のお話で登場した指数関数の考え方はネピアさんによるものです。
イメージとしては三角関数をイメージして作られたものだといわれています。
その後これらの考え方をネピアさんとブリッグスさんが磨いて
今日の「log」表記の対数になっていったそうです。
(この記事の末尾に参考記事を張ってますが、そちらでは
 線形補完で精度をあげることまで紹介されています。)


確かにこの指数関数の考え方だと「10の4乗」みたいに
桁をそろえる必要がありますし、この一見謎の指数関数が
三角関数のように少しずつ変化するというイメージを
持てていないと、扱うのは難しそうです。


ということで次回以降、この対数を改良した
「log」に触れてみたいなぁと思います。



何かございましたら、コメントなどいただけると幸いです。


次回:対数log
前回:2を底とした指数関数で掛け算を足し算






参考:http://www7a.biglobe.ne.jp/~watmas/dosukyo/circle-reports/logarithm.pdf#search='%E5%AF%BE%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%AD%B4%E5%8F%B2'「対数の誕生・成長・発展」

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