置換積分のイメージ ~極小をさらに縮める~


目標:置換積分のイメージをなんとなく理解する。


数Ⅲの置換積分は難しい計算を可能にしてくれますが、
「なんでそれでうまくいくのか?」って
はじめは理解するのが大変ですよね。


合成関数の微分から証明は簡単にできるのですが、
もともと定積分って面積を表していることを
考えると、できれば面積でイメージしたいんですよね。
(高校の積分は微分の逆で定義されて、
 「なぜか」面積が出るみたいな説明みたいですね。)


今回は扇形の面積を求める積分計算を
置換積分を用いて行い、そのイメージを
グラフに示していこうと思います。






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置換積分


今回は次の関数を扱いたいと思います。
式1.PNG


この式のグラフは以下のように
半径1の半円の円周を表すことになります。
半球グラフ.PNG



さて今回はxの値を0から1の範囲で積分していきましょう。
つまりは円の1/4の扇形の面積を求めることになります。

 半径×半径×π×1/4

でπ/4であることはすぐに計算できますが、
以下で置換積分を用いた計算をしていきます。
式2.PNG

確かに面積が計算できました。
三角関数に置き換えてなぜか面積が
計算できてしまいました。

この三角関数での置き換えでどんなことが起こっているか
以下でイメージをとらえていきましょう。
(証明ではなくあくまでイメージです。)



円のグラフとcosのグラフ


さて、先ほどの積分の式のこの部分に注目しましょう。
式3.PNG

この式の変形でxの積分がθの積分に代わっています。

さて変形後の積分の式と、cosを同じ区間で積分した式を
比べると、赤い四角の部分で違いがあります。
式4.PNG

上の式は先ほど計算した通り、
1/4円の扇形の面積でしたね。
下の式はcos関数の面積を表しています。
円のグラフcosのグラフを表現すると以下のようになります。
線だけ.PNG

また区分求積法の考え方をcosのグラフ
加えていくと次のようなイメージになります。
スクリーンショット (7).png

グラフ下の面積を比べると、cosのグラフ下の面積が
円よりも大きくなっていますね。
つまりxをsinで置き換えた式(cosの式)をそのまま積分するだけでは
グラフに差がある分だけ計算に違いが出てしまいます。

そこで置換積分の計算で出てきた式の意味を考えてみましょう。



置換積分のイメージ


上で計算した置換積分とcosの積分の違いは
以下の四角の部分でした。
式5.PNG

つまりcosの積分と比べて、dθの部分をcosθで調整しています。
cosθは積分区間の中では0以上1以下なので
dθを少しずつ小さく調整しています。

このことを区分求積法の考え方と合わせて考えると
以下のようなイメージができるかと思います。
スクリーンショット (6).png

つまり、区分求積法の長方形の
それぞれの横の長さが徐々に小さくなっているということです。
そして長方形の横の長さが小さくなった結果、
1/4円の面積と同じになっていくということですね。



あくまでイメージなのでカッチリはしてないですが、
このようなイメージを持っておくと積分のわけわからなさが
少し軽減されるのではないかなぁと思います。

以下、まとめます。
・置換積分は微小区間を調整しているイメージ




今回はあくまでイメージなので雑なところが多々あるので
時間があればちょこちょこ加筆しなければと思っています。

何かございましたら、コメントいただければ幸いです。

関連:中間地の定理を証明したい

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